CONJUNTOS

• Operaciones entre conjuntos.
• Diagramas de Venn Euler.
• Relaciones y funciones.
• Aplicación de la teoría de conjunto a situaciones y problemas.

Criterio de Evaluación: 2 trabajos 20% ; 1 parcial 10%.

SÍMBOLOS A UTILIZAR

Diagramas de Venn: Para encerrar elementos de un conjunto.

CONJUNTOS

Es una colección de objetos, bien determinados, es decir que, dado un objeto y un conjunto, se puede establecer si el objeto pertenece o no al conjunto.

Observaciones: 

• Cada objeto del conjunto se llama elemento.
• Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas.
• Se representan en diagramas de Venn.
• Los elementos se encierran entre llaves.

A = {a, e , i , o , u}

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

Los conjuntos se pueden determinar por extensión y por comprensión.

• Extensión: Cuando se nombra cada elemento que lo integra. Ejemplo: El conjunto de los números naturales impares mayores que 5. M={7, 9, 11, 13, 15, . . . }
• Comprensión: Cuando se recurre a la propiedad que lo caracteriza y que sólo cumplen sus elementos; Ejemplo: El conjunto de los números naturales impares mayores que 5. M={ x ϵ N / x= 2n + 5}

Ejercicio: Determinar por extensión y comprensión cada uno de los siguientes conjuntos:

1. El conjunto de los números primos menores que 35.
2. El conjunto de los cuadrados perfectos menores que 100.
3. El conjunto de los números enteros que dividen a -8.

1. Conjunto vacío.
2. Conjunto infinito.
3. Conjunto finito.
4. conjunto universal.

RELACIÓN DE PERTENENCIA

Un elemento pertenece a un conjunto si cumple con las características que definen al conjunto. En el ejemplo 1: 7 ϵ M. Se lee 7 pertenece a M.

                            2 Ɇ M. Se lee 2 no pertenece a M.

Ejemplos: T = {x ϵ Q / -1 < x < 7}, determina el valor de verdad.

a) -0,15 ϵ T

b) -4/3 ϵ T

c) 7 ϵ T

d) {3} ϵ T

OBSERVACIONES

1. En un conjunto no se repiten elementos. Sup M={a,a,a}={a}.
2. En un conjunto no importa el orden en que se coloquen los elementos. B = {a,b} = {b,a}.
3. Para el desarrollo de la teoría de conjunto deben darse las siguientes condiciones:

• Un conjunto universal.
• Determinar el conjunto por comprensión.
• Determinar el conjunto por extensión.

    4.  El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto.

Ejemplos: Dado el conjunto A = {1,2,{3},4,{5,6}}, indicar cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles falsas.

a) 2 ϵ A ___

b) 3 ϵ A ___

c) {5,6} ϵ A ___

d) 6 ϵ A ___

RELACIÓN DE IGUALDAD

Dos conjuntos A y B son iguales si tienen exactamente los mismos elementos.

En símbolos A = B <=> (x ϵ A => x ϵ B) ^ (x ϵ B => x ϵ A)

Es decir: Todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B pertenece a A.

Ejemplo: Determinar si los conjuntos U y V son iguales.

U={x/x ϵ N ^ x  

}

PROPOSICIONES, CONJUNCIONES, DISYUNCIONES, IMPLICACIONES.

TEMARIO:

• Forma de simbolizar una proposición.
• Proposición simple.
• Valor de verdad de una proposición.
• Ejemplos.
• Proposiciones compuestas y conectivos lógicos.
• Negación de una proposición.
• Conjunción.
• Valor de verdad de la conjunción.
• Disyunción.
• Valor de verdad de una disyunción.
• Disyunción exclusiva.
• Implicación o condicional.
• Valor de verdad de la implicación.
• Equivalencia o bicondicional.
• Valor de verdad de la equivalencia
• Tablas de verdad.
• Tautologías.
• Contradicción.
• Funciones proposicionales.
• Proposiciones con cuantificadores.
• Negación de proposiciones con cuantificaciones.

1. PROPOSICIONES:

Son enunciados que en un contexto determinado o en una teoría se pueden calificar como verdaderas o falsas.

Para designar una proposición se utilizarían las letras minúsculas.

p, q , r, s

Ejemplo: 

a. p: El pentágono tiene 6 lados.

b. q: Colombia tiene dos mares.

c. r:¿Cuál es tu nombre?.

d. s: ¡Él lo hizo!

e: t: 3/4 de 12 es 9.

f. o: Estoy de acuerdo!Observación: Las opiniones, preguntas, órdenes y exclamaciones no son consideradas proposiciones.

Proposición SIMPLE:

Es aquella que se forma sin utilizar términos de enlace.

Ejemplo:      p: Hoy es jueves

                     q: 7 elevado a la 3=343 

Valor de verdad de una proposición, (V) O (F).

Se pueden calificar como verdaderas o falsas.

Ejemplo: -4 es mayor que -3 (F)

                  2*π*r es la longitud de la circunferencia (V)    

                 Hoy llueve en Medellín.

Para todas las personas que habitan en Medellín no tiene el mismo valor de verdad.

Ejercicio: Determine el valor de verdad de cada proposición simple.

1. p: Los elefantes vuelan.
2. q: Lina tiene 7 annos.
3. r: Raíz cuadrada de -9 es un número real.
4. 7 es factor de 84.

PROPOSICIONES COMPUESTAS Y CONECTIVOS LÓGICOS


Las proposiciones compuestas son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples ligadas por un conector

• Es un rectángulo si y sólo si tienen 4 ángulos rectos.
• Viajamos de día o viajamos de noche.
• Si el perímetro aumenta, entonces el área se duplica.
• 8 es un número par y 8 es divisible por 2.

Los conectores y, o. entonces, si y sólo si, permiten unir dos preposiciones simples.

AXIOMAS: 

Son proposiciones que son verdaderas por definición.

Ejemplo: El todo es mayor que las partes

                 Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre si.

                

El método deductivo permite partir de un conjunto de hipótesis y llegar a una conclusión.

En matemáticas, la deducción es un proceso concatenado de la forma:


Si A entonces B, si B entonces C, si C entonces D... hasta llegar a una conclusión.


TEOREMA: Es el conjunto de hipótesis mas la demostración, hasta llegar a una conclusión.


Ejercicios: Formar proposiciones compuestas, a partir de proposiciones simples.

• Este mes me voy a trabajar.
• Este mes me muero de hambre.
• Vivo en Lima. 
• Vivo en Madrid.
• Estudio matemáticas.
• Puedo ensenar matemáticas.

POSIBILIDADES LÓGICAS.

Una proposición simple p sólo tiene dos posibilidades, o es verdadera o es falsa.

Dos proposiciones Simples forman una compuesta

Tres proposiciones tendrán 2 elevado a la 3 =8

En general el número de proposiciones simples que se tienen es "n", entonces el número de posibilidades es 2 elevado a la n.


NEGACIÓN DE UNA PROPOSICIÓN


La negación es el conectivo lógico que permite cambiar el valor de verdad de una proposición.
Si p es verdadero (V)
Su negación ¬p es falsa (F)
¬p se lee no p.


Ejemplo: Negar las siguientes proposiciones simples:
p: Todos los números primos son pares.
q: No todos los triángulos son isóceles.
r: -15+18=7


Solución:
¬p: No todos los números primos son pares.
¬q: Todos los triángulos son isóceles.
¬r:-15+18+ 7

¿Cuál es el resultado de ¬(¬p)?

Observación: Si una proposición p es verdadera, su negación es falsa y viceversa.

LA CONJUNCIÓN (p ^ q) símbolo lógico ^.


La proposición p ^q es verdadera únicamente si p y q son verdaderas, los demás casos p y q es falsa.


Ejemlo: Juanita, podrás salir a la calle cuando arregles la cama y limpies los muebles.

TABLA DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN

LA DISYUNCIÓN

Símbolo gramatical: o
Símbolo lógico: v


La disyunción inclusiva es verdadera cuando al menos una de las proposiciones sea verdadera y es falsa cuando todas las proposiciones simples sean falsas.
Ejemplo: Juanita, te dejo salir a jugar cuando arregles la cama o sacudas el polvo.

TABLA DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
La proposición p v  q cuando únicamente una de las proposiciones es verdadera y la otra falsa.
El número 3 o es divisor de 6 o divisor de 10.

TABLA DE VERDAD

m v n
V

La proposición m es verdadera y la proposición n es falsa luego m v  n es verdadera.
Ejemplo: 18 es múltiplo de 6 ô 18 es múltiplo de 5.
p (V) ; q (F) por lo tanto p v  q es verdadera.


EL CONDICIONAL Y LA IMPLICACIÓN


Es una proposición compuesta por proposiciones simples unidas mediante el conectivo lógico:
"Si... entonces..."  que se simboliza =>. p=>q
p se denomina antecedente y q se llama consecuente.


VALOR DE VERDAD DE LA IMPLICACIÓN


La proposición p => q es falsa únicamente si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En los demás casos es verdadera.

TABLA DE VERDAD

OBSERVACIÓN: Todo condicional no es una implicación.
Ejemplo: Si el mar es dulce entonces 3 es un número impar.

1. Si estudias entonces irás al paseo.
2. Si x+3=5, entonces x=2.
3. Si ABC es un triángulo, entonces el ángulo A mas el ángulo B mas el ángulo C es igual a 180 grados.
4. Si ha llovido entonces las calles están mojadas.

Cada uno de estos enunciados reciben el nombre de condicional.


BICONDICIONAL Y DOBLE IMPLICACIÓN


Forma gramatical: si y sólo si
Símbolo lógico: <=>


Ejemplo: x es un número par si y sólo si x es múltiplo de 2.
p: x es un número par.
q: x es múltiplo de 2.


p=>q ^q=>p.


VALOR DE VERDAD DE LA EQUIVALENCIA.


La proposición p <=> q es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambar proposiciones son falsas.

TABLA DE VERDAD

Ejemplo: r <=> s : A es un polígono de 4 lados si y sólo si A es un cuadrilátero.

r es verdadera, s es verdadera.

Nota cuando el condicional es verdadero se acostumbra a decir que las proposiciones que intervienen son equivalentes,

Ejemplos generales:

1. Sabemos que p es falsa, q es verdadera y r es falsa. ¿Cuál será el valor de verdad de la proposición:

q =>(p ^ r) ? = F

                                                                    .          .

                                                                    .          .

                                                                    .          .

                                                                   V   =>  F = F

Luego q =>(p ^ r) = F

2. Si el valor de verdad de la preposición p => ¬q es falso. ¿Cuál será el valor de verdad de ¬q ^ p?

q => ¬q

.

.

.

V   => F

Si q es verdadera, entonces ¬q es falsa

Si ¬p es falsa, entonces p es verdadera

¬q  ^  p

                                                                     F ^ V

                               

                                                                   F

Luego las proposiciones:

q=> ¬p <=> ¬q ^ p

     F        V        F

Ejercicios

Completar con F o V cada una de las siguientes proposiciones. Justificar la respuesta.

a) Se sabe que p ^q es verdadera, por lo tanto el valor de verdad de ¬p => q es ____________

b) Se sabe que ¬p => q es falsa. Por lo tanto el valor de verdad de p v ¬ q es ___________

c) Se sabe que ¬p v q es falsa. Por lo tanto, el valor de verdad de p <=> q es ___________

d) Se sabe que p es falsa y ¬p <=> q es verdadera. Por lo tanto, p => ¬q es ___________

VALOR DE VERDAD DEL BICONDICIONAL

Nos basaremos en el valor de verdad del condicional para poder determinar el valor de verdad del bicondicional.

Si (p <=> q) ^(q <=> p) es equivalente a p <=> q.

La proposición (p => q) ^(q => p) es lógicamente equivalente a (p <=> q) ^(q <=> p)

El bicondicional es verdadero cuando las proposiciones que interviene tienen el mismo valor de verdad.

2. Sabiendo que p es falso, q es verdadero y r falso. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas.

a) ¬ (p => ¬q ) <=> (p ^q)

   

     ¬ (F => F)  <=> (F ^ V)

         

         ¬ (V)      <=>  F

                   F  <=>  F

                         V

b) p => (q ^ r)

c) ¬p => (¬p ^ q)

d) (¬p ^ ¬q) => (p v r)

e) (¬q ^ r) v (q v ¬r)

f) (r ^ ¬r ) v r

3. Escribir la proposición dada en la forma si p entonces q determina su valor de verdad.

a) Los pájaros son aves.

b) Sólo las rectas no paralelas se cortan.

c) Sólo las rectas perpendiculares forman ángulos rectos.

SIGNOS DE PUNTUACIÓN O AGRUPACIÓN 

1. Los paréntesis ( ).
2. Los corchetes [ ].
3. Las llaves { } son signos de puntuación o agrupación cuya función en el lenguaje corriente es separar unas proposiciones de otras.

Ejemplo: En la proposición compuesta:

a) p ^ ( q v r) ; ^ es el conector principal.

b) p => (p v r) ; => es el conector principal.

c) p => (p ^ r) ; => es el conector principal

     

Ejemplo: Escribir simbólicamente las proposiciones siguientes.

a) 2 es número par y 21 es múltiplo de 3 o 5 es la raíz cuadrada de 10.

Solución:

• p: 2 es número par.
• q: 21 es múltiplo de 3.
• r: 5 es la raíz cuadrada de 10.

(p ^ q) v r

b) Si 5 multiplicado por 12 es 60, y 3 es el cuadrado de 9, entonces, estudio o juego ajedrez.

Solución:

• p: 5 es multiplicado por 12 es 60.
• q: 3 es el cuadrado de 9.
• r: estudio.
• s: juego ajedrez.

(p ^ q) => (r v s)

VALORES DE VERDAD DE PROPOSICIONES COMPUESTAS

Ejemplo: Supongamos que se quiere determinar que la proposición (¬p ^ q) es equivalente a (p => ¬r) suponiendo que:

• p: es falsa.
• q: es verdadera
• r: es verdadera

p, q, r, (¬p ^ q) <=> (p => ¬r).

TABLAS DE VERDAD 

Son utilizadas para establecer el valor de verdad de proposiciones compuestas.
Ejemplo: Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:
a) ¬(p ^ q) v ¬(q <=> p)
b) [(p => q) ^ p] => q

A v B

TAUTOLOGÍAS 

Es una proposición compuesta siempre verdadera, sin importar el valor de verdad que tengan las proposiciones simples que la componen.

Ejemplos:

Comprobar por medio de una tabla de verdad que las siguientes proposiciones compuestas son tautologías.

1. p v ¬p.
2. [p ^ (p => q)] => q.
3. (p v q) <=> (q v p).
4. (p => q) <=> (¬q => ¬p).
5. [(p => q) ^ (q => r)] = (p => r).

CONTRADICCIONES

Es una proposición compuesta siempre falsa sin importar el valor de verdad que tengan las proposiciones que la componen.

Ejemplo: Comprobar que la proposición (p ^ ¬p) es una contradicción.

¬(p v q) ^ ¬(q => p)

Nota: Cuando en la tabla de verdad de una proposición aparecen valores (V) y (F) se dice que la proposición es incierta o indeterminada.

Ejercicio:

Elaborar la tabla de verdad de las siguientes proposiciones  y decir en casa caso si se trata de una tautología, una contradicción o una indeterminación.

a) ¬(p => ¬q) <=> (p ^ q).

b) (p ^ ¬q) <=> (¬p v q).

c) p => (q ^ r).

d) ¬p => (¬p ^ q).

e) (¬p ^ ¬q) => (p v q).

f) (p => q) => ¬p.

g) (¬q ^ r) v (q v ¬r).

h) (r ^ ¬r) v r.

LEYES DE ÁLGEBRA PROPOSICIONAL

Las siguientes proposiciones constituyen unos axiomas conocidos como leyes tautológicas.

AXIOMA 1 Leyes de Idempotencia

Si p es una proposición simple o compuesta, entonces:

a) (p v p) <=> p

b) (p ^ p) <=> p

Quiere decir que p v p y p ^ p se sustituye por p.

AXIOMA 2 Leyes de identidad para "o" y para "y" (^ , v).

a) p v (V) <=> V

b) p ^ (F) <=> F

c) p ^ (V) <=> P ------------> El valor de verdad de la conjunción y disyunción v , ^ depende                                   

                                                      del valor de p.

AXIOMA 3 Leyes de conmutativas

Si p y q son proposiciones, entonces:

a) (p v  q) <=> (q v p)

b) (p ^ q) <=> (q ^ p)

Se pueden escribir en cualquier orden. 

AXIOMA 4 Ley asociativa

Si p , q , r son proposiciones cualesquiera, entonces:

a) (p ^ q ) ^ r <=> p ^ (q ^ r) 

b) p v (q v r) <=> (p v q) v r.

AXIOMA 5 Ley distributiva

Si p , q, r son proposiciones cualesquiera, entonces:

a) [p ^ (q v r)] <=> [(p ^ q) v (p ^ r)]

b)  [p v (q ^ r)] <=> [(p v q) ^ (p v r)]

AXIOMA 6 Ley de doble negación.

Si p es una proposición cualquiera, entonces:

¬(¬p) <=> v

Al negar dos veces una proposición, obtenemos una afirmación.

AXIOMA 7 Ley del tercero excluido.

(p v ¬p) <=> V

P "o" no p siempre es verdadera. independientemente del valor de p.

AXIOMA 8 Ley de contradicción

Si p es una proposición cualquiera, entonces:

(p ^ ¬p) <=> F

AXIOMA 9 Leyes de Morgan

Si p y q son proposiciones simples , o compuestas, entonces:

a) ¬(p ^ q) <=> (¬p v ¬q)

b) ¬(p v q) <=> (¬p ^ ¬q)

Negar una conjunción o una disyunción consiste en cambiar "v"o "^" y negar las proposiciones dadas.

AXIOMA 10 Definición alterna del condicional

Usando tablas de verdad podemos verificar que

p =>q <=> ¬p v q

Ejemplo de las leyes de Morgan:

Para negar la proposición 7 es un número primo y 30 es divisible por 5, cambiamos "y" por "o" y negamos proposiciones simples que forman el enunciado.

7 no es un número primo o 30 no es divisible por 5.

Ejemplo: Escribir sin condicional las proposiciones siguientes:

a) (p ^ q) => r

b) p => (¬p v ¬p)

c) ¬p => ¬q

Solución:

a) (p ^ q) => r   ;  p => q <=> ¬p v q

    (p ^ q) = A

    A => r

   ¬A v r

   ¬(p ^ q) v r

b) p => (¬q v ¬r)

     p = A

     (¬q v ¬r) = B

    ¬A v B

    ¬p v(¬q v ¬r)

c)  ¬p => ¬q <=> ¬(¬p) v ¬q

     ¬p => ¬q <=> p v ¬q

Ejemplo:

Escribir una proposición a: si x es par entonces x es divisible por 2.

p: x es par

q: x es divisible por 2

p => q <=> ¬p v q

x no es par o x no es divisible por 2.

Ejemplo:

Probar que p => q <=> ¬p v q

Aplicaciones de las leyes proposicionales.

Ejemplo: Probar que ¬(p => q) <=> [p ^ (¬q)]

¬(p => q) <=> ¬(¬p v q) ---------- AX 10

¬(p => q) <=> ¬(¬p) ^ ¬q ---------Ley de M

¬(p => q) <=> p ^ q

Ejemplo:

(p ^ q) => p es tautología

(p ^ q) => p <=> ¬(p ^ q) v p  ---------A 10      

(p ^ q) => p <=> (¬p v ¬q) v p  -------- L de M

(p ^ q) => p <=> (¬p v p) v ¬q  --------Ley conmutativa

(p ^ q) => p <=> [V] v ¬q -------------Ley del tercero excluido.

V Ley